正規分布

実際の分布は，データを集めて統計処理することで得られる． 理論的な分布としては， 正規分布(ガウス分布)

$$w(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} {\rm e}^{-(X-\bar{X})^2/2\sigma^2}$$ (15.5)

がよく知られている． 変数の定義域は $-\infty< X<\infty$である． 以下(15.9) で示すように， 右辺の因子 ${1}/{\sqrt{2\pi} \sigma}$は規格化条件 を満たすように選ばれている． 図 15.1には， 正規分布$N w(X)$を破線で重ねて記してある． 図に示すように，正規分布は平均値$\bar{X}$を 頂点とし，幅$\sigma$をもつ山になる． 実際に積分計算すると，正規分布は $\vert X-\bar{X}\vert \le \sigma$ の範囲に全体の68.3%を， $\vert X-\bar{X}\vert \le 2\sigma$，$3\sigma$ の範囲内には それぞれ$95.5\%$，$99.7\%$ のサンプルを含む． 式で表現するなら，

$$\int_{\bar{X}-\sigma}^{\bar{X}+\sigma}w(X){\rm d}X=0.683, \... ...\ \int_{\bar{X}-3\sigma}^{\bar{X}+3\sigma}w(X){\rm d}X=0.997,$$

である． 数値は(15.5)に固有の結果である．

正規分布に関する積分公式を以下に示そう． 基本になるガウス積分

$$I= \int_{-\infty}^\infty {\rm e}^{-x^2} {\rm d}x.$$

は，平面極座標表示$r^2=x^2+y^2$， ${\rm d}x{\rm d}y=2\pi r{\rm d}r$を用いて， 次のように計算できる．

$$I^2=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty {\rm e}^{-x^... ...r {\rm d}r =\pi \int_0^\infty {\rm e}^{-r^2} {\rm d} r^2 =\pi.$$

つまり，$I=\sqrt{\pi}$である． 変数変換 $x\rightarrow \sqrt{a}x$($a=$定数)により，

$$\fbox { \( \displaystyle \int_{-\infty}^\infty {\rm e}^{-a x^2} {\rm d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}} \)}$$ (15.6)

が得られる．この式の両辺を$a$について微分すると，

が得られる．さらに，奇関数$x$の積分は

$$\int_{-\infty}^\infty x {\rm e}^{- a x^2} {\rm d}x=0$$ (15.8)

となることに注意すれば， 残る作業は式の書換えだけとなる． 例えば，(15.6)で$x=X-\bar{X}$とし， $a^{-1}=2\sigma^2$とおくと，

$$\int_{-\infty}^\infty {\rm e}^{-(X-\bar{X})^2/2\sigma^2} {\rm d}X = \sqrt{2\pi}\sigma$$ (15.9)

となるため，正規分布(15.5)は 確かに規格化条件(15.2)を満たす． さらに，(15.8)で $x=X-\bar{X}$ と読むと， $\langle X-\bar{X}\rangle =0$，つまり， $X$の平均値に対し

$$\langle X\rangle =\bar{X}$$ (15.10)

が得られる．

平均からの 偏差 $\Delta X\equiv X-\bar{X}$ も重要な量である． 定義により，偏差の平均値は $\langle \Delta X\rangle=0$であるが， 偏差の 2乗平均 $\langle (\Delta X)^2\rangle$ は正の定数値をとる． この定数値が分布の幅 $\vert\Delta X\vert \simeq \sqrt{\langle (\Delta X)^2\rangle}$を特徴づける． 正規分布に対する結果は，次のように求まる．

$$\langle ( \Delta X )^2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^\infty (X-\bar{X})^2 {\rm e}^{-(X-\bar{X})^2/2\sigma^2} {\rm d}X$$

$$= \sigma^2.$$ (15.11)

第1式は平均操作 $\langle \cdots \rangle$ の定義であり， (15.7)で$x=X-\bar{X}$とすると第2式が得られる． 正規分布に限らず，左辺は

$$\langle (X-\bar{X})^2\rangle= \langle X^2-2X\bar{X}+\bar{X}^2\rangle= \langle X^2\rangle - \langle X\rangle^2$$ (15.12)

と変形できる． すなわち分布の幅は， 2乗の平均 $\langle X^2\rangle$ と平均の2乗 $\langle X\rangle^2$の差で与えられる．

分布の散らばりの度合を表す$\sigma$は 標準偏差とよばれ， $\sigma^2$は 分散とよばれる． ある特定の値$X$の 平均値$\bar{X}$からの外れ具合を示す量として， 偏差値 $50+ 10 (X-\bar{X})/\sigma$ も用いられる． はじめに示した積分値により， 偏差値70以上の割合は 2.3% となる．