例：物質の膨張率

理想気体の熱膨張率を求める． ${ V}(T,p)=NRT/p$を (4.4)に代入すると，

$$\alpha(T) = \frac{1}{T}$$ (4.6)

が得られる． 理想気体の熱膨張率は温度で決まり，圧力には依存しない． 常温(20$^\circ$C)に対し， が得られる． これは1$^\circ$C当たり0.3%の体積変化率に相当する．

常圧での水と水銀の質量密度を， 温度の関数として 図4.1に示す． 常圧とは1気圧を意味し， 圧力の基準としてよく用いられる． 水の密度は約4$^\circ$Cで最大となるが， 図から読み取れるほど顕著ではない． 代表点での数値を表4.1に示す． 常温以下では， 水の密度は 約1.0 [${\rm g/cm^3}$]と考えて問題ない． 100$^\circ$Cでは 約0.96 [${\rm g/cm^3}$]だが， これらに比べ，氷の密度は 約0.92 [${\rm g/cm^3}$]と目立って小さい． 多くの物質では， 分子が密に詰まることで， 液体より固体の方が密度が大きくなるのだが， 水は数少ない例外の1つとなる． これは水分子が「く」の字型をしており， 整列するとかえって場所を占めるためである． 図4.1から明らかなように， 水の密度の温度変化は一様ではないが， 水銀の密度は，ほぼ直線的に温度変化する． (4.5)によると， $T$-$\rho$曲線の負の傾きから 膨張率$\alpha$が求まる． $\alpha$が一定の水銀の方が， 温度計物質としてはふさわしいことがわかる． 図によると，$0^\circ$C付近を除き， 水の熱膨張率は温度とともに増加している． 気体の(4.6)とは対照的である．

図4.1からも読みとれるように， 水銀の膨張率は 1.81 $\times 10^{-4}$ [K$^{-1}$]，水の熱膨張率は20$^\circ$Cでは 2.1 $\times 10^{-4}$ [K$^{-1}$]である． こうして 代表値を比較すると， 密度の差にもかかわらず，水と水銀の 膨張率はほぼ同程度であり，理想気体に比べると約10倍小さい． つまり，気体は液体よりも約10倍ほど膨張しやすい． もっとも，水の膨張率は 3.98$^\circ$Cで0になり， さらに温度を下げると負に転じる． 負の$\alpha$も水に固有の性質である． 一般に，固体は液体よりも膨張しにくい． 例えば， ダイヤモンドの体膨張率は 約 $9 \times 10^{-6} [{\rm K^{-1}}]$， 黄銅は約 $6 \times 10^{-5} [{\rm K^{-1}}]$， 氷はセ氏0度で $1.6\times 10^{-4}$ [K$^{-1}$]である．

問 題

ファン・デル・ワールス気体(2.8) の熱膨張率を 温度$T$と比体積$v$の関数として求めよ． 定数$a=b=0$のとき理想気体の結果 が得られることを示せ．

表 4.1: 水の密度(常圧)

	温度 ${\rm [^\circ C]}$	密度 [ ${\rm g\cdot cm^{-3}}$]		温度 ${\rm [^\circ C]}$	密度 [ ${\rm g\cdot cm^{-3}}$]
	0 (固)	0.917		20 (液)	0.99820
	0 (液)	0.99984		100 (液)	0.9583
	4 (液)	0.99997		100 (気)	0.598 $\times 10^{-3}$