熱伝導

温度の異なる物体を接触させると，熱の移動が生じる． 正確には，移動するのはエネルギーであるが， 巨視的には 熱伝導としてとらえる． 熱の伝えやすさを表す物理量が 熱伝導率である．

表 5.5: 物質の熱伝導率(常圧)

	物質	温度 [$^\circ$C]
	紙	常温	0.06
	コンクリート	常温	1
	砂	20	0.3
	ポリエチレン	常温	0.25-0.34
	木材(乾)	18-25	0.14-0.18
	黄銅(真鍮)	0	106
	空気	0	2.41 $\times 10^{-2}$
	水	0	0.561
	氷	0	2.2

熱伝導率$\kappa$とは，厚さ$a=1$mの物質で隔てられた面積$A=1$m$^2$の2つの 面に1Kの温度差があるとき，$\Delta t=1$秒間に流れる 熱量$\Delta Q$ [J]を表す． ${\rm [W]({\bf ワット})=[J/s]}$は仕事率の単位である．

温度 $T_{\tiny\mbox{高}}$の高温物体と 温度 $T_{\tiny\mbox{低}}(<T_{\tiny\mbox{高}})$の低温物体が， ある物質を隔てて接触しているとする． ここで注目したいのは，中間にはさまれた物質についてである． 物質の厚さ$a$が厚いほど熱移動の速さは遅くなるだろう． また，物質の接触面積$A$が大きいほど熱伝導は速くなるだろう． 高温部から低温部へと流れる熱エネルギーを$\Delta J_Q$とすると， 保存則により$\Delta J_Q$は高温物体が失う熱量 $-\Delta Q_{\tiny\mbox{高}}$ であり，また低温物体が得る熱量 $\Delta Q_{\tiny\mbox{低}}$に等しい． 経験によると， 面を垂直に通過する熱の 流量$\Delta J_Q$は，温度勾配 $(T_{\tiny\mbox{高}}- T_{\tiny\mbox{低}})/a$と接触面積$A$，そして経過時間$\Delta t$に比例する． つまり，式で表現すると，

$$\Delta Q_{\tiny\mbox{低}} =-\Delta Q_{\tiny\mbox{高}}= \kappa \frac{T_{\tiny\mbox{高}}-T_{\tiny\mbox{低}}}{a}A \Delta t$$

が成り立つ． この経験則は フーリエの法則とよばれる． ここで定義される比例係数$\kappa$が 熱伝導率であり， 物質固有の物理量である． 表 5.5に 様々な物質の熱伝導率$\kappa$を示す． 熱容量と熱伝導率の区別には注意を要する． 単純にいうと， 熱容量は蓄えられる熱の 容量を表す． これに対して，熱伝導率は熱を伝える 速さを特徴づける． 熱平衡状態では，すべての物質は等しい温度をもつが， 触れてみると温度が異なるように感じることがある． 皮膚で感じる熱さや冷たさの感覚は， 熱伝導率に強く影響される． 熱の移動速度が速い方が より強く感覚に訴えるためである． 表によると，水や砂に比べ，紙や空気は， 数倍から10倍程度 熱を伝えにくいことがわかる． 金属は自由な伝導電子をもつため， 熱をよく伝える．

図: 面積$A$で互いに接触し， 幅$a$をもつ3つの隣接する直方体を考える． 熱は温度差を減らす向きに流れる．

物質中の不均一な温度差は， どのようにして一様になるのであろうか． 物質内部における 局所的な温度の時間変化を考えるために， 図 5.3に示すように， 同じ材質の直方体が3つ，一直線上に隣接している状況を想像する． 各直方体の幅を$a$，互いに接触している面の面積を$A$と書く． 左の直方体の温度を$T_{l-a}$，真中の温度を$T_l$，右を$T_{l+a}$とする． 温度が $T_{l-a}> T_l> T_{l+a}$を満たすとき， 熱は図の左から右へと流れる． フーリエの法則により，時間$\Delta t$の間に左から真中に入る熱量は $\kappa(T_{l-a}-T_{l})A \Delta t/a$， 右に流れていく熱量は $\kappa(T_l-T_{l+a})A \Delta t/a$となる. 差し引き，真中の直方体が受けとる熱エネルギーは

$$\Delta Q_l= \kappa\frac{T_{l-a}-T_{l}}{a}{A\Delta t} -\kappa \frac{T_l-T_{l+a}}{a} {A\Delta t}$$ (5.37)

となる． 熱量$\Delta Q_l$を受けとることで， 直方体の温度$T_l$は変化する． 変化分$\Delta T_l$は 直方体の熱容量に反比例する． 圧力を一定とみなし，体積当たりの比熱として (5.27)を用いる． 体積$A a$ を掛けると， 直方体の熱容量は $C_p=\rho c_p A a$と書ける． こうして関係式 を用いて(5.37)を書き換えると，

$$\frac{\Delta T_l}{\Delta t} = \frac{\chi }{a} \left( \frac{T_{l+a}-T_{l}}{a}- \frac{T_{l}-T_{l-a}}{a} \right)$$ (5.38)

が得られる．ここで新たに 温度拡散率

$$\fbox {\( \displaystyle \chi\equiv \frac{\kappa}{\rho c_p} \)}$$ (5.39)

を導入した．^5.5

間隔$a$が小さい極限を考えると， (5.38)の 右辺の2項はともに 偏微分として表現できる． 熱エネルギーの流れる方向を$x$軸の正の向きとし， 温度を時間$t$と位置座標$x$の関数$T(x,t)$と考え， 次のように置き換える： 右辺で$\chi/a$にかかる係数は 微分

$$\frac{T_{l}-T_{l-a}}{a}\rightarrow\frac{\partial T(l,t)}{\partial x}$$

の変化分

$$\frac{1}{a}\left( \frac{\partial T(l+a,t)}{\partial x} -\fra... ...x} \right) \rightarrow \frac{\partial^2 T(l,t)}{\partial x^2}$$

になる． 左辺は時間に関する偏微分になるため， 連続極限 $a\rightarrow 0$で 熱伝導方程式，

$$\fbox { \( \displaystyle \frac{\partial T(x,t)}{\partial t} = \chi \frac{\partial^2 T(x,t)}{\partial x^2} \)}$$ (5.40)

が得られる．これは フーリエの方程式 ともよばれる．

図: 場所による温度差はいずれ均一化される．

熱伝導方程式は 不均一な温度の時間変化を理論的に考察する際の出発点となる． 重要な方程式だが， ここでは代表的な性質を確認するに留める． 簡単のため， 図 5.4に示すように， 温度が波のように変化する状態を考えよう． 最初の状態(時刻$t=0$)が，平均温度$T_0$のまわりで 振幅$\Delta T$， 波長$\lambda$ をもつ正弦波 $T(x,0) =T_0+\Delta T\sin(2\pi x/\lambda)$で表されるとする． 時間が経つにつれ， 温度差は最終的には一様に均されるだろう． 温度差がなくなるまでに， どの位の時間がかかるかを知りたい． 解の候補として， 初期振幅$\Delta T$を 時間の関数 $\Delta T{\rm e}^{-t/\tau}$で置き換えた関数

$$T(x,t) =T_0+\Delta T{\rm e}^{-t/\tau} \sin(2\pi x/\lambda)$$ (5.41)

を熱伝導方程式に代入すると， 条件

$$\tau=\frac{\lambda^2}{4\pi^2 \chi}$$ (5.42)

を満たすとき， (5.41)は解となることがわかる． 温度差の振幅 $\Delta T{\rm e}^{-t/\tau}$は指数関数的に減衰する． 緩和時間$\tau$は，不均一な温度勾配が一様になる 時間の目安を与える． (5.42)によると， $\tau$は$\lambda$の2乗に比例して増大する． 実は，この性質は図 5.4の例に限ったことではない． 定数 $\tau\chi/\lambda^2$ の値(上の場合は$(4\pi^2)^{-1}$) は温度変化の空間的なパターンに依存しうるが， 温度の不均一さの幅$\lambda$が10倍になると 緩和時間は100倍になるという結論は， 熱伝導方程式(5.40)の特徴として， 方程式を解かずに理解できる性質である． 要するに，なだらかな温度差ほど，ならすのに時間 がかかるということである． 一般的にいうと，巨視的な系では， 力学平衡に比べて熱的平衡の実現には時間がかかる．

表 5.6: 物質の密度と温度拡散率

	物質
	紙	0.7-1.1	$0.4\sim 0.7$
	コンクリート	2.4	$5\sim$
	砂	1.4-1.7	$2\sim$
	ポリエチレン	0.92-0.97	$1.4 \sim$
	木材(乾)		$1\sim$
	黄銅(真鍮)	8.6	318
	空気	0.00129	186
	水	1.00	1.33
	氷	0.917	12.2

表 5.6に物質の密度と温度拡散率$\chi$を示す． 後者は (5.39)に密度$\rho$， 熱伝導率$\kappa$，そして 表 5.1の比熱を代入して求めたものである． $\rho$や$\kappa$の物質依存性が大きいのに比較し， 金属や気体など，よい熱伝導体を例外として， $\chi$はすべてほぼ同程度の値をとる． 例えば，木材や土，水の $\chi \simeq 1 \times 10^{-7} [{\rm m^2/s}]$に対して，

$$\frac{1}{4\pi^2\chi} \simeq 25 [{\rm s/cm^2}]$$

となる． (5.42)によると， $\lambda=1 {\rm cm}$に対して$\tau\simeq 25$秒となる． $\lambda\sim$数mに対し$\tau$は数日の程度に， 数kmに対しては， 緩和時間は数千年から1万年の程度になる． これは地球規模の熱現象が， 人間的な時間の尺度からみて， 極めて緩慢なことを意味する．

熱伝導方程式を空気や水などの 流体に応用する際には注意を要する． 熱伝導では エネルギーの移動は考えるが，物質の移動は考えない．ところが， 重力場中における実際の流体では，温度 差にともない密度が変化し， 浮力の効果により 対流 が発生する場合がある． 対流とはかき混ぜであり， 温度を均一化する機構としては極めて有効だが， 詳細に関する具体的な考察には，流体力学の手法が必要になってくる． 熱エネルギーの移動機構としては， 熱伝導と 対流のほかに，電磁波の 放射が挙げられる(15.10参照)．